1．解：一共只有5只蚂蚁．如右图所示，每一个圆圈里都有五只蚂蚁．2．解：只来了一名学生．教室里共有两人，另一个人是老师，所以说学生占教室里全体人数的一半．3．解：他们两人此时一共还有10元．如下图所示．4．

从数数与计数中，可以发现重要的算术运算定律．例1数一数，下面图形中有多少个点？解：方法1：从上到下一行一行地数，见下图．点的总数是：5+5+5+5=54．方法2：从左至右一列一列地数，见下图．点的总数是：4+4+4+4+4

下列各题至少用两种方法数数与计数．1．数一数，下图中有多少个点？2．数一数，下图中的三角形点群有多少个点？3．数一数，下图中有多少个小正方形？4．数一数，下图中共有多少个小三角形？

1．解：方法1：从上至下一行一行地数，共4行每行5个点，得54=20．方法2：分成两个三角形后再数，见下图．得：（1+2+3+4）2=20．发现一个等式：1+2+3+4＝（1+4）42．2．解：方法1：从上至下一行一行地数，再相加，得

利用上一讲得到的乘法运算定律和等差数列求和公式，可以使计算变得巧妙而迅速．例12452554=（25）（425）54（利用了交换=1010054律和结合律）=54000例254125168625=54（1258）（62516）（利用了=54100010000交换律和

计算下列各题：1．4135252．382563．124254．1324761115．3553+47356．5346+7154+82547．①1111②111111③11111111④1111111111⑤1111111111111111118．①1214②1317③1517④1718⑤1915⑥16129．①1111②1212③1313

1．解：413525=（425）135=100135=13500．2．解：38256=1922523=19（2252）3=191003=19003=5700．3．解：12425=（1244）（254）=31100=3100．4．解：132476111=132476（100+10+1）=13247600+1324760+132476=14704836

形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了．古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子．例1最初的数和最简的图相对应．这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的．例2我国在春秋战国时代就有了洛图（见下

1．第25个三角形数是几？2．第50个三角形数是几？3．第1000个三角形数是几？4．三角形数的奇偶性是很有规律的，想一想，这是为什么？5．观察下列图形，你能发现什么？6．第99个与第100个三角形数的和等于多少？7．每

1．解：1+2+3++25=（1+25）252=325．2．解：1+2+3++50=（1+50）502=1275．3．解：1+2+3++1000=（1+1000）10002=500500．4．解：观察前几个三角形数的构成，就可以发现其中的规律：第1个数=1奇数；第2个数=第1个数+2

一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了中、日、田几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，中和日可以一笔写成（没有重复的

1.下面的各个小图形都是由点和线组成的.请你仔细观察后回答：①与一条线相连的有哪些点？②与二条线相连的有哪些点？③与三条线相连的有哪些点？④与四条线或四条以上的线相连的有哪些点？2.若把与奇数条线相连的点

1.解：见下图①与一条线相连的点有：（在图中画成黑点，下同.）②与两条线相连的点有：③与三条线相连的点有：④与四条及四条以上的线相连的点有：2.解：①有0个奇点（即全部是偶点）的图形是：（1）、（5）、（10）

二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们的智力挑战，使得很多人冥思苦想.在相当长的一段时间里，很多人都想解决它，但他们都失败了.今天，我们小学生也要大胆地研究研究它.这个问题叫做七座桥问题.

1.学习欧拉，先将过桥问题转化为一笔画问题，再进行判断（见下图）.过桥问题：可否一次通过的桥（每座桥只能走一次）？例：仿此例依次判断出：2.下图是乡间的一条小河，上面建有六座桥，你能一次不重复地走遍所有的

1.解：见下图过桥问题：可否一次通过所有的桥（每座桥只能走一次）一笔画问题：可否一笔画成图形（笔不能抬起，不能重复）2.解：见下两图，可知不能一次不重复地走遍所有的小桥，因为下右图有4个奇点.3.解：由于通过

数字游戏问题是数学游戏中的一类.它要求从数字以及数字间的运算中发现规律，然后按照这个规律去填数或填写运算符号.解决这一类问题的关键是寻找规律、发现规律.一、找规律填写数列里面的数例1在□中填入适当的数.192

找规律填数：1.1，2，3，3，2，1，4，5，6，6，5，□.2.4，6，10，16，26，42，□.3.4，6，10，16，24，34，□.4.5.6.7.8.9.

1.解：.每三个数一组，前后两组数是对称排列的.2.解：.从第3个数开始，后面的数是它前面两个数的和.4+6=10，6+10=16，10+16=26，16+26=42，26+42=68.3.解：.从第2个数开始，后面的数是它前面的数依次加2，4，6，8，1

一、填写算式中的数例1用○，★，△代表三个数，有：○+○+○=15，★+★+★=12，△+△+△=18，○+★+△=（）填出（）中的数.分析上面算式中的○、★、△分别代表三个数.根据三个相同加数的和分别是15、12、18，可知

1.把2、3、13、18分别填入下面○里，使等式成立.○-○=○+○.2.△、○、★分别代表三个不等于0的数字，并且△★=○，△+△+△=○-△-△，那么★代表的数字是多少.3.把1～9九个数字填在○里，（每个数字只能用1次），

1.18-13=3+2（答案不惟一）.2.★=5，因为○=5个△.3.4+5=9，8-7=1，23=6.5.6.

例1续和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两发子弹.续共打中6环，小军共打中5环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗？解：已知续两发子弹打中6环，要求每

1.把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.2.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出.3.将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分

1.解：共有2种不同的分拆方式：15=9+615=8+72.解：共8种.3.解：共12种.4.解：共6种.15=9+3+2+115=8+4+2+115=7+5+2+1=7+4+3+115=6+5+3+1=6+4+3+25.解：同第4题答案.6.解：同第4题答案.7.解：可这样想：总数要87个，最

例1如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米.问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来.解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图.注意，如果题中不要求将路径一一画出

1.一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，问：①这个长方形的面积有多少可能值？②面积最大的长方形的长和宽是多少？2.有四种不同面值的硬币各一枚，它们的形状也不相同，用它们共能组成多少种不同钱数

1.解：这个长方形的长和宽之和是222=11（米），由长方形的面积=长宽，可知：由上表可见面积最大的长方形的长是6米、宽是5米，面积是30平方米.猜想：由本讲的例1和习题1这两题来看，周长一定的所有长方形中，长和宽相

观察、搜集已知事实，从中发现具有规律性的线索，用以探索未知事件的奥秘，是人类智力活动的主要内容.数学上有很多材料可用以来模拟这种活动、培养学生这方面的能力.例1观察数列的前面几项，找出规律，写出该数列的

1.先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续往下写出一些算式：①19+2=②99+7=129+3=989+6=1239+4=9879+5=12349+5＝98769+4=2.先计算下面的奇妙算式，找出规律，再继续写出一些算式：19+99=118+989=1117+9879=11116

1.①19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111123459+6=1111111234569+7=111111112345679+8=11111111123456789+9=111111111.②99+7=88989+6=8889879+5=888898769+4=88888987659+3=8888889876549+2=888888898765439+

逆序推理法，也叫逆推法或倒推法.简单说，就是调过头来往回想.例1老师心中想了一个数，对他的学生说：给这个数加上9，再取和的一半应是5.他叫学生们把这个数算出来.你会算吗？解：用逆推法求解，就是这样想：因为老

1.一个数加上8，乘以8，减去8，除以8，结果还是8，求这个数？2.一个数加上100，乘以100，减去100，除以100，结果还是100，求这个数.3.某个数加上2，减去3，乘以4，除以5，结果等于12，这个数是几？4.有一次小云去买

1.解：逆推.从最后结果8开始：不除以8时，应是88=64；不减去8时，应是64+8＝72；不乘以8时，应是728=9；不加上8时，应是9-8=1；所以，可知此数为1.2.解：先写出顺序式.设此数为x，依题意：[（x+100）100-100]100=100

在有些数学题中，数量之间的关系不容易看出来；可是只要画个图就能显示清楚了.同学们要学会这种画图方法.例1小明比小英小5岁，小方比小明大2岁.那么小英和小方差几岁？解：先画个图看看：①表示小明比小英小5岁，②

1.王强和李明都想买一本《趣味数学》，但王强的钱少2角5分，李明的钱少3角1分.如果两个人的钱合在一起就刚够买这本书.问一本《趣味数学》多少钱？王强和李明各有多少钱？2.大、小二数之和为10，之差为2，求大、小二

1.解：画个图用实线段表示二人有的钱，虚线表示缺的钱.依题意，两人钱合在一起，刚好买这本书.就是说，如图所示，实线段（表示李明的钱）按图线可以向上移到短的虚线处（表示王强缺的钱）接起来刚好等书价.也就是说

例1已知：△+○=24，○=△+△+△，求△=？○=？解：将两个等式编号：△+○=24（1）○=△+△+△（2）将（1）式中的○用（2）式中的3个△代替得△+△+△+△+=24△=244=6，又○=6+6+6=18.例2已知：（见下图）求：一个□

1.已知：（下图所示为简易天平）求：一个柿子的重量是多少克？2.桔子和苹果共有360个，其中桔子数是苹果数的2倍，求桔子和苹果各有多少个？3.小红去文具店买了6支铅笔和5个笔记本，共花了1元3角5分钱.已知3支铅笔的

1.解：为书写简便，做以下规定：用字母x代表一个柿子的重量；用字母y代表一个苹果的重量；用字母z代表一个梨的重量；这样就可以用下列等式表示题中的天平图：x=6y（1）2y=3z（2）2z=60克（3）由（3）式可得：z=30克.