第十讲 枚举法

    例1 如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米.问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来.

　　解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图.

　　注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所示方法较为便捷.图中交点处的数字表示到达该点的路线条数，如O点处的数字2，表示由A到O有2条不同的路径，见上图中的（1）和（2）；又H点处的数字3的意义也如此，见上图中的（1）、（2）、（3）可知有3条路径可由A到H.仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，如O点的2等于F点和E点的数字相加之和，即1+1=2，又如，C点的6等于G点和H点的数字相加之和，即3+3=6.

　　例2 在10和31之间有多少个数是3的倍数？

　　解：由尝试法可求出答案：

　　3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=21

　　3×8=24 3×9=27 3×10=30

　　可知满足条件的数是 12、15、18、21、24、27和30共7个.

　　注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法：

　　10÷3=3余1，可知10以内有3个数是3的倍数；

　　1000÷3=333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数；

　　333-3=330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数.

　　由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围.

　　例3 两个整数之积为144，差为10，求这两个数？

　　解：列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来：

　　 1 2 3 4 6 8 9 12

　　144 72 48 36 24 18 16 12

　　可见其中差是10的两个数是8和18，这一对数即为所求.