旋转的线段

我们可以想象平面上有一条会运动的线段，不同的运动方式它所扫过的图形当然是不同的。比如平行移动可以扫过一个矩形。这一讲我们重点研究一条线段绕一个固定点旋转的情况。

问题1 如图1，线段AB的长度为1厘米，那么画出这条线段分别绕A点和B点按顺时针方向旋转90°所扫过的图形，并求出相应图形的面积。

　

　　

　

问题2 如图3，ABCD是一个长为4，宽为3，对角线长度为5的长方形。它绕C点按顺时针方向旋转90°，分别求出四条边扫过图形的面积。

　　我们可以先画出旋转后的图形（如图4）。

　　首先容易发现DC边和BC边旋转后扫过的图形

　　因此，DC边扫过图形的面积为4π平方厘米，BC边扫过图形的面积

　

　　在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见图6中阴影部分：

　　下面我们来求这部分的面积。

　　观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：

　　（扇形ACA面积+三角形ABC面积）-（三角形ABC面积+扇形BCB面积）

　　=扇形ACA面积-扇形BCB面积

　　

　　=4π

　　下面再来研究AD边扫过的图形。

　　由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如图7阴影部分所示：

　　用与前面同样的方法可以求出面积为：

　　

　　解决此类问题的关键是能够相对准确地画出图形。

问题3 如图8是一个等腰直角三角形ABC，直角边长度为1，将整个三角形绕C点顺时针旋转90°，求斜边扫过图形的面积。

　　先画出旋转后的图形（如图9）：

　　可以看出，距离C点最远的点是A点和B点，最近的点是AB边的中点D，因此我们可以画出AB边扫过的图形，如图10阴影部分：

　　下面来求这部分的面积：

　　我们可以把所求面积的部分分为两个部分，两个弓形的面积为：

　　

　　

　　

　　因此所求部分的面积就是：

　　

　　同学们可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的。