从三角形的中位线说起

在认识三角形的时候，同学们都学过一个概念，叫做三角形的中位线，同学们都会认为这是一非常简单的概念，如果我们对这个概念加深一点认识，就可以看到它是多么的有用。

　　所谓三角形的中位线，其实就是三角形两条边中点的连线，如图1：

　　图中线段DE就是三角形ABC的一条中位线。关于三角形的中位线有几条重要的结论：

　　1．三角形ABC的中位线DE与底边BC平行，并且它的长度是底边长

　　

　　

　　下面我们把三角形中位线的概念稍微推广一

　　这时我们可以得到类似的结论：

　　

　　这几条结论的正确性留给同学们自己思考，下面我们要应用这些结论解决问题。

问题1 如图2，在三角形ABC中，D、E是AB边上的三等分点，

角形ABC的面积是1，求这四个部分的面积。

　　连接GF如图3，根据前面的结论可以知道：

　

　　　

　　

　　再连接DF和EG，得到梯形DEGF，如图4：

　　在梯形DEGF中，如果设三角形DOE的面积为1，则不难分析出三角形EOG和DOF的面积为2，三角形GOF的面积为4。（参见《中小学数学》（小学版）1999年第10期“已知整体求局部”），所以三角形BEG和三角形ADF的面积为3。

　　从而三角形DOE的面积为：

　　四边形ADOF和EOGB的面积都为：

　

　　四边形CFOG的面积为：

　　

　　至此四个部分的面积都求出来了。

问题2 把面积为1的三角形ABC的三边三等分，使其构成如图5所示的两个三角形D1E1F1和D2E2F2。求这两个三角形的交点所形成的六边形O1O2O3O4O5O6的面积。

　　用与上题同样的方法，可以得到图中三角形D1D2O2、E1E2O4和F1F2O6

　

　

　

　　

　　在梯形D1D2F1F2中，下底长度是上底长度的2倍，用本刊1999年第10期“已知整体求局部”一文的方法不难求出三角形　

　　

　　

　　用完全一样的方法可以求出其他5个类似于三角形D1O2O1的图形的面

　

　　本题的解法貌似复杂，其实它的基本思路就是整体减去部分，所用工具就是三角形中位线的若干性质。模仿以上问题解决的思路，我们还可以解决下面的问题。

问题 已知一个长方形ABCD的面积为1，将它的四条边分别三等分，将这些等分点如图7连接，求中间八边形O1O2O3O4O5O6O7O8的面积。

　　首先不难发现，中间八边形的外围出现了如下三种图形：

　　第一种：四个类似于AE1O1F4的四边形；

　　第二种：八个类似于E1O1O2的三角形；

　　第三种：四个类似于E1F1O2的三角形。

　　如果能把这三种图形的面积分别求出来，本题也就迎刃而解了。

　　先把图形简化成如图8形式：

　　连接F4E1和E4F1，如图9：

　　在三角形AF1E4中，线段F4E1就是底边E4F1上的中位线，用前边同样的

　　梯形E1F1E4F4的面积是：

　　三角形E1O1F4的面积是：　

　　

　　现在我们已经求出四边形AE1O1E4的面积为：　

　　

求出第二和第三种三角形的面积，我们画出如图10的简化图形：

　

　　

　

　　不难求出这个梯形的面积为：

　　由于下底F4E2长度是上底E1F1长度的3倍，所以三角形E1F1O2的面积为：

　　三角形E1O1O2的面积为：

　

　　　

　　综合以上结论我们可以得到本题答案为：