第五讲 一笔画问题(2)

　　第四组（见下图）

　　（1）这个图通常叫五角星.

　　五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连.

　　（2）由一个圆及一个内接三角形构成.

　　三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）.

　　（3）一个正方形和一个内切圆构成.

　　正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连.

　　（四条线是两条线段和两条弧线）.

　　第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见下图）

　　（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连.

　　（2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连.

　　第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来.

　　进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名：

　　把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点.

　　提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查：

　　从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论：

　　①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形.

　　②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成.（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）.

　　③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）；

　　④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判定法则：

　　有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成.

　　能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”.

　　用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去.

　　看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.

　　

　　从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止.由此可见：

　　①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.

　　②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成.